Binômio de Newton — MateMestre

Introdução

Eu lembro de um aluno que errou exatamente nisso na prova do ENEM de 2018. Ele não entendia como aplicar o Binômio de Newton em um problema que envolvia a expansão de um gás. Foi então que eu percebi que precisava encontrar uma maneira de explicar esse conceito de forma mais clara e acessível para meus alunos.

Conceito e Teoria

O Binômio de Newton é uma fórmula que descreve a expansão de um binômio elevado a uma potência. Ele é fundamental para entender muitos conceitos de Física, como a probabilidade e a estatística. A fórmula é dada por: (a + b)^n = Σ (n k) a^(n-k) b^k, onde n é a potência, k é o número de combinações e (n k) é o coeficiente binomial.

Exemplos Resolvidos

📌 Exemplo 1: Expansão de um binômio

Vamos considerar o exemplo de (x + y)^3. Usando o Binômio de Newton, podemos expandir esse binômio da seguinte forma: (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. Observe como os coeficientes binomiais são usados para calcular cada termo da expansão.

📌 Exemplo 2: Problema do ENEM

Na prova do ENEM de 2020, apareceu um problema que envolvia a expansão de um binômio. O problema era: (2x + 3y)^4. Usando o Binômio de Newton, podemos expandir esse binômio da seguinte forma: (2x + 3y)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(3y) + 6(2x)^2(3y)^2 + 4(2x)(3y)^3 + (3y)^4. Observe como os coeficientes binomiais são usados para calcular cada termo da expansão.

⚡ Dica para o ENEM Uma dica importante para o ENEM é lembrar que os coeficientes binomiais são simétricos. Isso significa que, se você está calculando o coeficiente binomial (n k), você também pode calcular o coeficiente binomial (n (n-k)).

🧮 Calculadora — Binômio de Newton

Calcula o coeficiente binomial (n k)

Potência

Número de combinações

Exercícios para o ENEM

Tente resolver cada exercício antes de ver o gabarito!

Exercício 01

Calcule a expansão de (x + y)^2

x^2 + 2xy + y^2

Exercício 02

Calcule a expansão de (2x + 3y)^3

(2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3

Exercício 03

Calcule o coeficiente binomial (5 2)

Exercício 04 — Estilo ENEM

Na prova do ENEM de 2019, apareceu um problema que envolvia a expansão de um binômio. O problema era: (x + 2y)^5. Calcule a expansão desse binômio.

x^5 + 5x^4(2y) + 10x^3(2y)^2 + 10x^2(2y)^3 + 5x(2y)^4 + (2y)^5

Exercício 05

Calcule o coeficiente binomial (7 3)