Sistemas de Equações 1º Grau

Introdução

A resolução de sistemas de equações do 1º grau envolve encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Isso pode ser feito de várias maneiras, mas os métodos da substituição e da adição são os mais comuns e acessíveis. Vamos entender como aplicar esses métodos passo a passo.

Conceito e Teoria

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações lineares com duas ou mais variáveis. Cada equação pode ser representada na forma ax + by = c, onde a, b e c são constantes e x e y são as variáveis. O objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfazem todas as equações do sistema. O método da substituição envolve resolver uma das equações para uma variável e substituir essa expressão nas outras equações. O método da adição envolve multiplicar as equações por números adequados para que as variáveis sejam eliminadas quando as equações forem somadas.

Exemplos Resolvidos

📌 Exemplo 1: Resolução por Substituição

Consideremos o sistema de equações: x + y = 4 e x - y = 2. Resolvendo a primeira equação para x, temos x = 4 - y. Substituindo essa expressão na segunda equação, obtemos (4 - y) - y = 2, o que simplifica para 4 - 2y = 2. Resolvendo para y, encontramos y = 1. Substituindo y = 1 na primeira equação, encontramos x = 3. Portanto, a solução é x = 3 e y = 1.

📌 Exemplo 2: Resolução por Adição

Consideremos o sistema de equações: 2x + 3y = 7 e x - 2y = -3. Multiplicando a segunda equação por 3 para alinhar os coeficientes de y, obtemos 3x - 6y = -9. Somando essa equação à primeira, temos (2x + 3y) + (3x - 6y) = 7 + (-9), o que simplifica para 5x - 3y = -2. No entanto, para eliminar uma variável, devemos ajustar os coeficientes. Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3, temos 4x + 6y = 14 e 3x - 6y = -9. Somando, obtemos 7x = 5, então x = 5/7. Substituindo x na segunda equação original, encontramos y = -16/7. Portanto, a solução é x = 5/7 e y = -16/7.

⚡ Dica para o ENEM Ao resolver sistemas de equações do 1º grau, é crucial checar se a solução satisfaz todas as equações originais, especialmente em provas como o ENEM, onde a atenção aos detalhes é fundamental.

🧮 Calculadora — Sistemas de equações do 1º grau

Resolve um sistema de equações do 1º grau da forma ax + by = c e dx + ey = f

Exercícios para o ENEM

Tente resolver cada exercício antes de ver o gabarito!

Exercício 01

Resolva o sistema de equações: x + 2y = 6 e 3x - 2y = 4.

Resolvendo a primeira equação para x, temos x = 6 - 2y. Substituindo na segunda equação, obtemos 3(6 - 2y) - 2y = 4, o que simplifica para 18 - 6y - 2y = 4, então 18 - 8y = 4. Resolvendo para y, encontramos -8y = -14, então y = 7/4. Substituindo y = 7/4 na primeira equação, encontramos x = 6 - 2(7/4) = 6 - 7/2 = (12 - 7)/2 = 5/2. Portanto, a solução é x = 5/2 e y = 7/4.

Exercício 02

Encontre a solução do sistema de equações: 2x + y = 5 e x - 3y = -11.

Multiplicando a segunda equação por 1 e a primeira equação por 3, temos x - 3y = -11 e 6x + 3y = 15. Somando, obtemos 7x = 4, então x = 4/7. Substituindo x na segunda equação original, encontramos (4/7) - 3y = -11, o que simplifica para -3y = -11 - 4/7, então -3y = (-77 - 4)/7 = -81/7. Resolvendo para y, encontramos y = 27/7. Portanto, a solução é x = 4/7 e y = 27/7.

Exercício 03

Resolva o sistema de equações: x + y = 3 e 2x - 2y = 2.

Dividindo a segunda equação por 2, obtemos x - y = 1. Somando essa equação à primeira, temos (x + y) + (x - y) = 3 + 1, o que simplifica para 2x = 4, então x = 2. Substituindo x = 2 na primeira equação, encontramos 2 + y = 3, então y = 1. Portanto, a solução é x = 2 e y = 1.

Exercício 04 — Estilo ENEM

Um problema do ENEM apresenta o seguinte sistema de equações: 3x + 2y = 12 e 2x - 3y = -3. Encontre a solução.

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda equação por 2, temos 9x + 6y = 36 e 4x - 6y = -6. Somando, obtemos 13x = 30, então x = 30/13. Substituindo x na primeira equação original, encontramos 3(30/13) + 2y = 12, o que simplifica para 90/13 + 2y = 12. Multiplicando toda a equação por 13, obtemos 90 + 26y = 156, então 26y = 66, e y = 33/13. Portanto, a solução é x = 30/13 e y = 33/13.

Exercício 05

Resolva o sistema de equações: 4x - 3y = 5 e 2x + 3y = 7.

Somando as equações, obtemos (4x - 3y) + (2x + 3y) = 5 + 7, o que simplifica para 6x = 12, então x = 2. Substituindo x = 2 na segunda equação, encontramos 2(2) + 3y = 7, o que simplifica para 4 + 3y = 7. Resolvendo para y, encontramos 3y = 3, então y = 1. Portanto, a solução é x = 2 e y = 1.

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