Progressão Geométrica

Introdução

Além disso, vamos discutir a soma dos termos de uma PG, que é uma operação fundamental em muitas aplicações matemáticas. Compreender como calcular a soma dos termos de uma PG é essencial para resolver problemas em várias áreas do conhecimento. Com exemplos detalhados e explicações claras, você estará preparado para aplicar os conceitos de Progressão Geométrica em diferentes contextos.

Conceito e Teoria

Uma Progressão Geométrica é definida como uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão (r). A fórmula geral para o enésimo termo de uma PG é: an = a1 * r^(n-1), onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. A soma dos n primeiros termos de uma PG pode ser calculada usando a fórmula: Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r), para r ≠ 1. Se r = 1, a soma é simplesmente Sn = n * a1.

Exemplos Resolvidos

📌 Exemplo 1: Encontrar o 5º termo de uma PG

Suponha que temos uma PG com o primeiro termo a1 = 2 e razão r = 3. Para encontrar o 5º termo, usamos a fórmula an = a1 * r^(n-1). Substituindo os valores, temos: a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162.

📌 Exemplo 2: Soma dos 4 primeiros termos de uma PG (estilo ENEM)

Dada uma PG com a1 = 4 e r = 2, encontre a soma dos 4 primeiros termos. Usando a fórmula Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r), substituímos os valores: S4 = 4 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 4 * (1 - 16) / (-1) = 4 * (-15) / (-1) = 60.

⚡ Dica para o ENEM Para resolver problemas de PG no ENEM, é fundamental lembrar que a fórmula para a soma dos termos é diferente quando a razão é 1. Além disso, certifique-se de identificar corretamente o primeiro termo e a razão comum para aplicar as fórmulas corretas.

🧮 Calculadora — Progressão Geométrica (PG)

Calcula o enésimo termo e a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica.

Primeiro termo (a1)

Razão (r)

Número de termos (n)

Exercícios para o ENEM

Tente resolver cada exercício antes de ver o gabarito!

Exercício 01

Encontre o 3º termo de uma PG com a1 = 5 e r = 2.

Usando a fórmula an = a1 * r^(n-1), temos: a3 = 5 * 2^(3-1) = 5 * 2^2 = 5 * 4 = 20.

Exercício 02

Qual é a soma dos 3 primeiros termos de uma PG com a1 = 3 e r = 4?

Aplicando a fórmula Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r), temos: S3 = 3 * (1 - 4^3) / (1 - 4) = 3 * (1 - 64) / (-3) = 3 * (-63) / (-3) = 63.

Exercício 03

Dada uma PG com a1 = 2 e r = 3, encontre o 2º termo.

Usando a fórmula an = a1 * r^(n-1), temos: a2 = 2 * 3^(2-1) = 2 * 3^1 = 2 * 3 = 6.

Exercício 04 — Estilo ENEM

Um investimento rende 10% ao mês. Se inicialmente você tem R$ 1.000,00, quanto terá após 6 meses?

Considerando que o investimento segue uma PG com a1 = 1000 e r = 1,10 (100% + 10%), a fórmula para o valor após 6 meses é: an = 1000 * (1,10)^(6) = 1000 * 1,771561 = 1771,56.

Exercício 05

Encontre a soma dos 2 primeiros termos de uma PG com a1 = 10 e r = 2.

Usando a fórmula Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r), temos: S2 = 10 * (1 - 2^2) / (1 - 2) = 10 * (1 - 4) / (-1) = 10 * (-3) / (-1) = 30.

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